Hab gerade nach den alten Unterlagen „gegraben“, bin aber auf die Schnelle nicht fündig geworden. Die Grundidee war damals, die jeweilige Collatz-Folge auf ein Jones Polynom abzubilden (oder, was vermutlich einfacher ist, auf dessen generalisierte Version, ein Homfly Polynom). Dabei ist L+ der gerade Fall, L- der ungerade. L0 tritt hier ja nicht auf. Der 4-2-1 Rattenschwanz hat dann das selbe Polynom wie eine Zopf-Gruppe. Interessant ist aber nur der Teil bis zur ersten 4-2-1 Sequenz.
Man kann damit die (charakteristischen ???) Jones Polynome anstelle der Folgen weiter untersuchen, hab das auch teilweise gemacht, bin aber nicht besonders weit gekommen. Aber ich vermute, dass das jeweilige Jones Polynom nur bis zu einer vom Startwert abhängenden Zahl eigenständig ist, danach aber einen mehr oder weniger langen Teil einer „Meta-Collatz-Folge (MCF)“ beschreibt.
Die bekannteste MCF, die (anscheinend) bei jedem Startwert > 2 auftritt, ist 4-2-1. Aber es gibt auch längere Zöpfe, etwa 8-4-2-1, wobei die 8 aber nur ein mal auftritt, das aber bei beliebig vielen Startwerten. Die längeren Zöpfe hab ich damals E-Zöpfe (E für extended) genannt, obwohl es keine echten Zöpfe sind, sondern sich häufig wiederholende Endfolgen. Etwa vergleichbar mit der Phasenvervielfachung bei Poincare-Folgen. Nur geht es hier eben nicht in einen chaotischen, sondern einen geordneten Bereich.
Es scheint (kann es aber nicht beweisen) mindestens einen abzählbar unendlich langen E-Zopf zu geben. Wobei wir aber schon wieder bei einem (diesmal ganz besonders) merkwürdigen Unendlichkeitsproblem wären...
Schalom,
Schlomo
Edit meint: Sollte vielleicht noch erwähnen: Wenn man die Jones-Polynome der E-Zöpfe nimmt, kann man die eigenständigen Anfangspolynome dazu addieren. Ganz genau so, wie man Knoten addiert. Damit lässt sich dann auch ein Zahlensystem aufbauen, vergleichbar mit den p-adischen Zahlen.
Ich bin mir sicher, dass Seti mit diesem Thread irgendwas anderes bezweckt. Fühlt Euch also so frei das ganze Geschreibsel über Collatz und Knoten in einen anderen Thread auszugliedern.
Schlomo, ich habe mal mein rudimetäres Wissen über Knoten rausgewühlt, werde aber aus Deinen Ideen noch nicht ganz schlau.
Du möchtest jeder Collatz-Folge ein Jones-polynom zuordnen. Ich hab das mal mit Alexander-Polynomen ausprobiert (ist ja egal, die Bildungsregel ist fast dieselbe):
D(L+) - D(L-) + (t^{-1/2}-t^{1/2})D(L0) = 0 mit D(O)=1
Interpretieren wir in der Collatz-Folge "even" als "overpass" (+) und "odd" als "underpass" (-), dann kann man die Folge
10 5 16 8 [ 4 2 1 ] [ 4 2 1 ] [ 4 2 1 ] ...
so schreiben:
+ - + + [ + + - ] ...
Nehmen wir an, dass Collatz' Vermutung stimmt, dann ist der [ + + - ]-Teil redundant, interessant wäre also nur + - + +. Offensichtlich gibt es keinen solchen Knoten, denn jeder reale Knoten muss für jeden + ein - enthalten. Daher kann diese Folge nur ein Braid beschreiben, den wir aber - wenn wir ihn um den Appendix kürzen - zyklisch schließen können. Es stellt sich heraus, dass es in Wahrheit ein Link aus zwei Komponenten ist, zumindest wenn wir den Braid mit zwei Strängen konstruieren, nämlich der kleinste nichttriviale 2-Link, die Eheringe. Ebenso, wenn wir mit drei Strängen beginnen, dann ergeben sich die Eheringe plus ein isolierter dritter Ring, allerdings hat man da ja schon Wahlmöglichkeiten, welche Stränge man flechten will. Bei vier wird's noch schlimmer.
Eine andere Möglichkeit wäre die Postulierung imaginärer Knoten, wie etwa + - +. Offenbar existiert so ein Knoten nicht, er wäre aber äquivalent zu + + - (durch Rotation), - - + (durch diametrale Projektion) und + - - (wieder Rotation). Definieren wir nun Q := (t^{-1/2}-t^{1/2}), dann ergäbe sich zur Berechnung des Alexander-Polynoms von unserer Folge oben:
(I) D(+-++) - D(+-+-) + Q D(+-+) = 0
(II) D(+-+) - D(+--) + Q D(+-) = 0
Die ersten beiden Terme von (II) sind gleich, wegen unserer obigen Überlegungen zu Identitäten. D(+-) ist dasselbe wie D(O), denn +- ist die "8", und da gilt D(+-)=D(O)=1, also gilt:
(III) Q = 0
was ein Widerspruch zu unserer Annahme der Existenz imaginärer Knoten ist. Also gibt es solche nicht, und diese Abbildung funktioniert nicht.
Also, mir ist die Abbildung nicht ganz klar.
